数学复健6-组合证明 序章 第五章我们学习了有限集、排列组合、二项式定理等知识。通过构造有限对象并比较它们的数量来证明恒等式或存在性结论的方法，叫作组合证明。 若有限集 $A$ 与 $B$ 之间存在双射，就有： $$ |A|=|B|.$$ 通过构造这种一一对应来计算对象数量，叫作双射计数。 选择同一个有限集 $S$，用两种不同方法计算 $|S|$，再令两个结果相等，叫作双重计数。 若物品集合...

数学复健5-基本记数原理 序言 有些问题不是在问一个对象是什么，而是在问： 满足条件的对象究竟有多少个？ 例如： 一个长度为 $8$ 的二进制串有多少种？ 从 $n$ 个人中选出 $k$ 个人有多少种？ 一条路线由三次独立选择组成，一共有多少种走法？ 逐个列出所有结果叫作枚举。 枚举在对象很少时可靠，但当选择层数增加时，数量会迅速膨胀： $$ 2^{10}=1024, \qquad ...

数学复健4-递归 一个只写了有限行的规则，究竟能定义哪些函数，又能完成哪些计算？ 如何生成结果？为什么生成过程合法？ 递归 递归的概念比较类似归纳法，不过归纳法是一种证明方法，而递归是一种定义对象的方法，由初值和递归关系组成 给定初值 $a_0$，以及一个构造规则 $G$，定义序列： $$ a_0=c$$ $$ a_{n+1}=G(n,a_n)$$ 这叫作一个递归定义。 例如： $$ a...

数学复健3-数学归纳法 小故事 一位工匠摆了一排骨牌，她先推倒第一块，第一块倒了。然后她发现任何一块骨牌倒下时，都会碰倒下一块骨牌。她没有逐块数到最后，也没有把每块骨牌都单独推一遍。 她只发现了两件事： 第一块会倒； 如果第 $n$ 块会倒，那么第 $n+1$ 块也会倒。 于是她得出结论，推倒第一个骨牌，整排骨牌都会倒下： $$ 1\text{ 倒} \Longrightarrow 2\...

数学复健2-证明 小故事 小镇上有一位铁匠，发明了一种给马蹄钉淬火的方法。 他试了第一块铁，成功了；第二块成功；第三块、第四块……连续一百次都成功。于是他在店门口挂出一块牌子： 任何铁块，只要用这种方法淬火，就一定不会断。 一位年轻学徒没有争论，只是拿来一块更薄、更脆的铁，按照完全相同的方法处理。铁块断了。 铁匠的一百次实验并没有毫无价值。它们说明方法可能有效，帮助我们形成猜想，也告诉我...

数学复健1-函数 最近可能更新一些基础数学教程，做大脑复健 历史插页 函数是一个古早而现代的概念 古代数学家早就研究了许多非常适合用函数描述的对象，如数表、天文周期、圆的弦长、运动中的距离，但缺少一种系统的描述手段。 莱布尼茨尝试使用 function一词来描述“曲线上的某个量，随着另一个量改变而改变。” 伯努利在研究“改变曲线后，某个量如何变化”的问题上，将函数理解为“由常量和变量组成...

常微分方程 微分方程 观察下面两个方程 $$ x^2=1$$ $$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=2x$$ 发现下面的方程包含导数，我们称这类包含未知变量（y）对自变量（x）的导数的方程为微分方程，上面的普通方程叫代数方程 此外我们发现，这个微分方程中，最高阶的导数是这个y对x的一阶导数，于是这个微分方程的阶数为1 我们将微分方程分为： 常微分方程（ODE...

插值 线性插值 $$ \mathrm{lerp}(p_0,p_1;t)=(1-t)p_0+tp_1$$ Smoothstep Hermite 将一个数平滑映射到[0, 1] float v = smoothstep(0.0, 1.0, time);// 等同于 time * time * (3 - 2 * time) 球面插值 Slerp 在球面上线性插值 $$ \mathrm{...

KL散度 在AI领域，我们经常需要衡量两个概率分布的相似度 KL散度 KL散度（Kullback-Leibler Divergence），也称为相对熵（Relative Entropy），用于衡量一个分布相对于另一个分布的相似性 假设现在有两个离散概率分布$P$和$Q$，他们的KL散度计算公式为： $$ D_{KL}(P||Q)=\sum_{i}P(i)\log \left(\frac{P(...

Nabla算子 参考 $\nabla$：Nabla算子，将数量场变成向量场 当其作用于函数，如$\nabla F(x)$，意思为求该函数梯度 当其点乘函数，如$\nabla \cdot F(x)$，意思为求该函数的散度 当其叉乘（三维）函数，如$\nabla \times F(x)$，意思为求该函数的旋度 函数可视化 对于函数$f(x,y)=x^2+y^2$，我们有两种可视化...