插值 线性插值 $$ \mathrm{lerp}(p_0,p_1;t)=(1-t)p_0+tp_1 $$ Smoothstep Hermite 将一个数平滑映射到[0, 1] float v = smoothstep(0.0, 1.0, time);// 等同于 time * time * (3 - 2 * time) 球面插值 Slerp 在球面上线性插值 $$ \mathrm...

KL散度 在AI领域，我们经常需要衡量两个概率分布的相似度 KL散度 KL散度（Kullback-Leibler Divergence），也称为相对熵（Relative Entropy），用于衡量一个分布相对于另一个分布的相似性 假设现在有两个离散概率分布$P$和$Q$，他们的KL散度计算公式为： $$ D_{KL}(P||Q)=\sum_{i}P(i)\log \left(\frac{P(...

Nabla算子 参考 $\nabla$：Nabla算子，将数量场变成向量场 当其作用于函数，如$\nabla F(x)$，意思为求该函数梯度 当其点乘函数，如$\nabla \cdot F(x)$，意思为求该函数的散度 当其叉乘（三维）函数，如$\nabla \times F(x)$，意思为求该函数的旋度 函数可视化 对于函数$f(x,y)=x^2+y^2$，我们有两种可视化...

复变函数 复变函数 复数 复数可以表示为实数和纯虚数的和 代数式： $$ z=x+\mathrm{i}y $$ x：实部，记为Re z y：虚部，记为Im z 复平面： 极坐标下 $$ \begin{cases} \rho=\sqrt{x^2+y^2} \ \varphi=\arctan (y/x) \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x=\rho \cos...

微积分 无穷级数 从有限项之和拓展到无限项之和 一根绳子，日取其半，万世不竭。但无论截取多少次，最后总长应该还是这跟绳子，即 $$ 1=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+…+\frac{1}{2^n}+… $$ 另一个例子 $$ 1+(-1)+1+(-1)+1+(-1)… $$ 等于多少呢？ 到底是 $$ 1+[(-1)+1]+[(-1)+1]…...

概率论 一：随机事件与概率 事件 事件的概念 样本空间$\Omega$ 其单元素子集：基本事件 其最大子集：必然事件 最小子集：即空集$\empty$，不可能事件 事件域$F$ 事件的关系 包含 $A\subset B$：A被包含在B、B包含A、A发生时B一定发生 相等 $A=B$：A等于B，两事件是同一个集合、描述的是同一件事 互不相容 A和B不能同时发生 ...

球函数 三大偏微分方程 拉普拉斯方程（椭圆） 热方程（抛物线） 波方程（双曲线） 常微分方程 含有未知函数的导数（含高阶导数）或微分的等式，称为微分方程 若未知函数是一元函数，则该函数为常微分方程 若导数的阶数为1，那么称为一阶微分方程 球坐标系 讨论常微分方程时，边界是记为重要的，而当边界是球形时，球坐标系会更好用 直角坐标系上点$P(x,y,z)$，也可以用三个有次序的数$(r,\...

线性代数 一：线性方程组 概念 线性方程 线性方程组 系数 解：一组能让方程左右相等的数 解集：方程组的所有解的集合 等价：若两个线性方程组拥有相同解集，则两者等价 相容：方程组有一个或无穷多个解 不相容：方程组无解 矩阵 方程组 $$ \begin{gathered} x_1-2x_2+x_3=0 \\ 2x_2-8x_3=8 \\ 5x_1-5x_3=10 \end{gathered...