数学复健1-函数
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函数是一个古早而现代的概念
古代数学家早就研究了许多非常适合用函数描述的对象，如数表、天文周期、圆的弦长、运动中的距离，但缺少一种系统的描述手段。
莱布尼茨尝试使用 function一词来描述“曲线上的某个量，随着另一个量改变而改变。”
伯努利在研究“改变曲线后，某个量如何变化”的问题上，将函数理解为“由常量和变量组成的表达式”
欧拉在面对大量不同来源的对象（曲线、三角量、指数增长、对数、无穷级数）时，将他们统称为函数，将函数理解为由常量和变量组成的解析式，之后他又给出了函数是“一个量依赖于另一个量”的宽泛解答
傅立叶和狄利克雷在研究热传导和振动时，发现一个函数解析式可以被一串正弦和余弦表示，于是引出了“函数到底是那个解析式，还是那个解析式所代表的对象“的问题，他们之后还发现了“函数不一定由一个解析式给出，函数可以处处不连续”
布尔巴基的《集合论》，将函数定义为集合的映射
集合
定义
一个集合是一些对象组成的整体。集合中的对象叫作元素。
例如：
$$
X={1,2,3}
$$
表示集合 $X$ 包含元素 $1,2,3$。符号
$$
1\in X
$$
读作“$1$ 属于 $X$”；而
$$
4\notin X
$$
读作“$4$ 不属于 $X$”。
常用的数集有$\mathbb N$ 自然数集、$\mathbb Z$ 整数集、$\mathbb Q$ 有理数集、$\mathbb R$ 实数集
数轴是用一条带有顺序刻度的直线表示实数的图形，实数集是通常数轴上的所有点。
子集
如果集合 $A$ 中的每个元素也都属于集合 $B$，就说 $A$ 是 $B$ 的子集，记作
$$
A\subseteq B
\quad\Longleftrightarrow\quad
\forall a\in A,\ a\in B.
$$
如果集合 $A$ 和集合 $B$ 中的元素完全相同，就是说集合 $A$ 等于集合 $B$ ，记作 $A=B$。
有序对与笛卡尔积
两个对象按照顺序排在一起，得到有序对：
$$
(x,y).
$$
顺序很重要，通常
$$
(x,y)\neq(y,x).
$$
给定两个集合 $X$ 和 $Y$，它们的笛卡尔积定义为
$$
X\times Y = {(x,y)\mid x\in X,\ y\in Y}.
$$
它包含所有“第一个元素来自 $X$、第二个元素来自 $Y$”的有序对。
例如：
$$
X={1,2},\qquad Y={a,b},
$$
那么
$$
X\times Y = {(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)}.
$$
函数的集合定义
设 $X$ 和 $Y$ 是两个集合，从 $X$ 到 $Y$ 的一个函数，记作
$$
f:X\to Y
$$
是一个关系 $f\subseteq X\times Y$，满足：
$$
\forall x\in X,\ \exists! y\in Y,\ (x,y)\in f.
$$
这里：
- $\forall$ 表示“对于所有”；
- $\exists$ 表示“存在”；
- $\exists!$ 表示“存在唯一一个”。
因此，函数的完整定义是：
对定义域（domain） $X$ 中的每个输入 $x$，在陪域（codomain） $Y$ 中存在唯一一个输出 $y$ 与它对应。
我们也把这个唯一的 $y$ 写成
$$
y=f(x).
$$
$f(x)$ 叫做输入 $x$对应的函数值，是“函数 $f$ 作用在输入 $x$ 上得到的唯一输出”
单射、双射与满射
同一个公式可以代表不同的函数
公式相同，但如果定义域和陪域不同，可以组成不同的函数
例如
$$
x\longmapsto x^2.
$$
它可以组成下面三个不同的函数：
$$
f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2,
$$
$$
g:[0,\infty)\to[0,\infty),\qquad g(x)=x^2,
$$
$$
h:\mathbb R\to[0,\infty),\qquad h(x)=x^2.
$$
单射
injective
单射的条件为：不同的 $x$ 对应不同的 $y$
满射
surjective
满射的条件为：陪域 $Y$ 里每一个元素都被射到
双射
bijective
双射的条件：即是单射，也是满射
函数的图像
函数的图像
函数 $f:X\to Y$ 的图像定义为
$$
\Gamma_f = {(x,f(x))\mid x\in X}
\subseteq X\times Y.
$$
图像收集了函数所有的输入输出对。
当 $X=Y=\mathbb R$ 时，我们通常把 $(x,f(x))$ 画在平面上。横坐标是输入 $x$，纵坐标是输出 $f(x)$。
像
函数 $f:X\to Y$ 的像，也叫值域，定义为
$$
\operatorname{Im}(f) = f(X) = {f(x)\mid x\in X}.
$$
像是函数真正产生出来的输出集合。它一定满足
$$
\operatorname{Im}(f)\subseteq Y,
$$
像不一定等于陪域 $Y$，当且仅当函数是满射的时候，像才等于陪域
逆像
给定 $B\subseteq Y$，集合 $B$ 在函数 $f:X\to Y$ 下的逆像定义为
$$
f^{-1}(B) = {x\in X\mid f(x)\in B}.
$$
注意：这里的 $f^{-1}(B)$ 不一定要求 $f$ 有逆函数。它表示“哪些输入会被送到 $B$ 中”。
例如，令
$$
f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2,
$$
取
$$
B=[1,4].
$$
则
$$
f^{-1}(B) = [-2,-1]\cup[1,2].
$$
因为这些且只有这些 $x$ 满足
$$
1\le x^2\le4.
$$
复合函数
现实中的过程通常不是一步完成的。
假设
$$
f:X\to Y,\qquad g:Y\to Z.
$$
先使用 $f$，再使用 $g$，得到一个从 $X$ 到 $Z$ 的新函数，叫作复合函数：
$$
g\circ f:X\to Z,
$$
其定义为
$$
(g\circ f)(x)=g(f(x)).
$$
符号从右向左读：先做 $f$，再做 $g$。
结合律
复合满足结合律：
$$
h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f.
$$
这表示无论我们先把括号放在哪里，最终的输入输出关系相同。
交换律
但一般不满足交换律：
$$
g\circ f\neq f\circ g.
$$
比如先加热再冷却，和先冷却再加热，通常不是同一个过程。函数复合的顺序包含了过程的方向。
逆函数
设 $f:X\to Y$。如果存在函数
$$
g:Y\to X
$$
使得
$$
g\circ f=\operatorname{id}_X, \qquad f\circ g=\operatorname{id}_Y,
$$
那么称 $g$ 是 $f$ 的逆函数，记作
$$
g=f^{-1}.
$$
对任意集合 $Z$，恒等函数 $\operatorname{id}_Z:Z\to Z$ 定义为
$$
\operatorname{id}_Z(z)=z.
$$
一个函数有逆函数，当且仅当它是双射。
在前面的例子中：
$$
g:[0,\infty)\to[0,\infty),\qquad g(x)=x^2
$$
是双射，因此
$$
g^{-1}(y)=\sqrt y.
$$
