微积分

无穷级数

从有限项之和拓展到无限项之和

一根绳子，日取其半，万世不竭。但无论截取多少次，最后总长应该还是这跟绳子，即
$$
1=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+…+\frac{1}{2^n}+…
$$
另一个例子
$$
1+(-1)+1+(-1)+1+(-1)…
$$
等于多少呢？

到底是
$$
1+[(-1)+1]+[(-1)+1]…=1+0+0…
$$
还是
$$
(1-1)+(1-1)+…(1-1)+…=0+0+0…
$$
这里出现了矛盾，为此我们建立了无穷级数的概念

常数项级数

常数项无穷级数

给定一个数列${u_n}$，由它构成的表达式
$$
u_1+u_2+…+u_n+…
$$
被称为常数项无穷级数，简称级数，其中$u_n$被称为该级数的通项

该级数的前n项和称为部分和，记为$s_n$

当n依次取1,2,3…时，部分和构成一个新数列${s_n}$，被称为部分和数列

当n无限增大时，若部分和存在极限，即
$$
\lim_{n \rightarrow \infty}s_n=s
$$
则称该级数收敛，并称极限$s$为该级数的和

若不存在极限，则称该级数发散

讨论级数收敛/发散

• 部分和公式好求，可以求公式，判断其有无极限
• 不好求，可以反证
  • 先假设收敛，然后化简公式，最后得出形如$s+x>s$的结论，证否

$$
\lim_{n \rightarrow \infty}s_n=\lim_{n \rightarrow \infty}s_{2n}=s
$$

余项

去掉级数A前n项，得到一级数
$$
u_{n+1}+u_{n+2}+…+u_{n+k}+…=\sum^{\infty}_{k=n+1}u_k
$$
称该级数为级数A的余项

若级数A收敛，则余项的前m项之和$s_m’$满足
$$
s_m’=s-s_n
$$
一般，我们将n项后余项和记为$r_n$
$$
s=s_n+r_n
$$

性质

• 级数中去掉/加上有限个项，不改变级数的收敛性

• 若一级数收敛，则其通项乘以一个常数$k$，仍然收敛，且和为$ks$

• 若两级数收敛，则两通项相加或相减，对应的级数仍然收敛，且和为$s+\sigma$

• 若一级数收敛，在其中加任意个括号，仍然收敛

• 级数收敛的必要条件是通项在无穷大处有极限，且为0

柯西收敛准则

级数收敛的充要条件

正项级数

若级数中各项非负，则称该级数为正项级数

• 正项级数的部分和必然是递增的

正项级数收敛的充要条件：其部分和数列有上界

比较审敛法

对于两个正项级数A，B，其通项分别为$u_n,v_n$

• 自某项起，$u_n\ge v_n$，若B发散，则A发散（大于发散则发散）
• 自某项起，$u_n\le v_n$，若B收敛，则A收敛（小于收敛则收敛）

比较审敛法的极限形式

对于两个正项级数A，B，其通项分别为$u_n,v_n$，若
$$
\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{u_n}{v_n}=\lambda
$$
有意义（极限存在或者为无穷大）

• $0<\lambda<\infty$：两级数收敛性相同
• $lambda=0$：若B收敛，则A收敛（小于收敛则收敛）
• $\lambda=\infty$：若B发散，则A发散（大于发散则发散）

比值审敛法

也称达朗贝尔判别法

对于一正向级数A，其通项为$u_n$，若
$$
\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho
$$
有意义

• $\rho <1$：A收敛
• $\rho >1$：A发散
• $\rho =1$：A可能收敛也可能发散

根值审敛法

也称柯西判别法

对于一正向级数A，其通项为$u_n$，若
$$
\lim_{n \rightarrow \infty}\sqrt[n]{u_n}=\rho
$$
有意义

• $\rho <1$：A收敛
• $\rho >1$：A发散
• $\rho =1$：A可能收敛也可能发散

积分审敛法

对于一正向级数A，其通项为$u_n$，若存在$[1, \infty)$上单调递减的非负连续函数$f(x)$，使得$u_n=f(n)$，则级数A与反常积分$\int^{\infty}_1 f(x)\mathrm{d}x$收敛性相同

• 反常积分就是积分域包含无穷上/下限，或者被积函数有瑕点的积分
  • 瑕点：函数值区域无穷的点
  • 奇点：函数值未定的点（比如间断点、无定义点）

任意项级数

交错级数

形如
$$
u_1-u_2+u_3-u_4…(-1)^{n-1}u_n+…
$$
或者
$$
-u_1+u_2-u_3+u_4…(-1)^{n}u_n+…
$$
的级数，称为交错级数

• 其中$u_n > 0$

交错级数审敛法

若$u_n \ge u_{n+1}$ ，且$\lim_{n \rightarrow \infty}u_n=0$

则级数 $\sum^{\infty}_{n=1}(-1)^{n-1}u_n$ 收敛

且其和 $s \le u_1$ ，其余项 $|r_n|\le u_{n+1}$

绝对收敛与条件收敛

对于一级数$A=\sum^{\infty}_{n=1}u_n$，其各项取绝对值

得到新正项级数$B=\sum^{\infty}_{n=1}|u_n|$

定理：若B收敛，则A收敛（所以这就是我们为什么要研究正项级数）

• 若B收敛，A必收敛，此时称A为绝对收敛
• 若B发散，而A却收敛，此时称A为条件收敛

性质

• 绝对级数的更序级数仍为绝对级数
  • 更序级数：对某级数的项进行重排后得到的新级数
• 两个绝对级数的柯西乘积仍然绝对收敛，且其和为$s\times \sigma$
  • 柯西乘积：参考向量相乘，$(a_1, a_2)(b_1,b_2)=(a_1b_1,a_2b_2)$

函数项级数

前面讨论的常数项级数用于表示无穷多个数的和，当其收敛时，其和为一个常数

而函数项级数用于表示无穷多个函数的和

设定义在集合$D\subseteq \mathbf{R}$的一系列函数（称为函数列）
$$
u_1(x),u_2(x),u_3(x)…u_n(x)…
$$
称
$$
\sum^{\infty}_{n=1}u_n(x)
$$
为函数项级数，$u_n(x)$为通项，前n项和称为部分和

极限函数

• 若对于某个点$x_0 \in D$，${ u_n(x_0)}$收敛，则称点$x_0$为该函数列的一个收敛点

• 所有收敛点构成的集合称为收敛域

• 若${ u_n(x)}$处处收敛（或逐点收敛），那么就形成了一个定义在D上的函数$f(x)$，D上每一个x都有该函数列一个极限值与之相对应，并称函数$f(x)$为该函数列的极限函数

$$
f(x)=\lim_{n \rightarrow \infty}f_n(x)
$$

极限函数与函数项级数

• 若点$x_0 \in D$是某级数的部分和函数列${s_n(x)}$的收敛点，则称$x_0$为该级数的收敛点

• 若点$x_0 \in D$不是某级数的部分和函数列${s_n(x)}$的收敛点，则称$x_0$为该级数的发散点

• 收敛点的集合称为该级数的收敛域

• 若级数在D上处处收敛，于是形成了一个定义在D上的和函数$s(x)$

$$
s(x)=\lim_{n \rightarrow \infty}s_n(x)
$$

收敛性

略

幂级数

幂级数是一种特殊的，也是最常用的函数项级数

我们把形如
$$
a_0(x-x_0)^0+a_1(x-x_0)^1+a_2(x-x_0)^2+…a_n(x-x_0)^n+…
$$
的函数项级数称为$x-x_0$的幂级数

其中$x_0$是一个常数，$a_0,a_1,…a_n,…$是幂级数的系数

• 对任意幂级数总有，当$x=0$时，幂级数收敛，即0是收敛点

阿贝尔定理

• 若$x=x_0 \ne 0$且幂级数收敛，则当$|x|<|x_0|$时，幂级数绝对收敛
• 若$x=x_0 \ne 0$且幂级数发撒，则当$|x|>|x_0|$时，幂级数发散

收敛半径

幂级数$\sum^{\infty}_{n=1}a_nx^n$的收敛域K是以原点为中心的一个区间，在区间内绝对收敛，在区间外发散，区间界可能收敛也可能发散，于是我们称这个收敛域的半径R为收敛半径

对于某个幂级数，若$a_n \ne 0$，且
$$
\lim_{n \rightarrow \infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\rho
$$

• 若$0<\rho <\infty$，收敛半径$R=\frac{1}{\rho}$
• 若$\rho =0$，收敛半径$R=\infty$
• 若$\rho =\infty$，收敛半径$R=0$

运算

对于两个幂级数A、B，他们的收敛半径分别为$R_1$、$R_2$

$R=\min(R_1, R_2)$，则在$(-R, R)$上

• 幂级数乘以一个常数仍然收敛
• A和B的线性组合仍然收敛
• A和B的乘积仍然收敛

和函数的性质

在收敛区间内，和函数$s(x)$满足

• 连续性
• 可微性

$$
s’(x)=\sum^{\infty}_{n=1}na_nx^{n-1}
$$

• 可积性

$$
\int^x_0s(t)\mathrm{d}t=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}
$$

函数展开为幂级数

在前面几节，我们讨论了函数项级数（尤其是幂级数）在收敛区间内可以得到一个和函数

那么，能不能给定一个（和）函数，将其展开为幂级数呢？

幂级数可以视为多项式的推广，那么我们能不能用多项式来逼近（和）函数呢？

泰勒级数

若$f(x)$在区间$(x_0-R, x_0+R)$能展开成幂级数，$f(x)$在$x=x_0$处有任意阶导数，那么幂级数有且仅有一个展开形式，且幂级数的系数为
$$
a_n=\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)
$$

• n取0，1，2…

我们称这个幂级数为函数$f(x)$在$x_0$处的泰勒级数，记作
$$
f(x)\sim f(x_0)+\frac{f’(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f’'(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+…+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+…
$$

展开条件

若$f(x)$在区间$(x_0-R, x_0+R)$处有任意阶导数，那么$f(x)$在该区间内能展开称泰勒级数的充要条件为
$$
\lim _{n \rightarrow \infty}R_n(x)=0
$$

• $R_n(x)$：n以后的余项

推论

若存在一个常数$M>0$，使得任意x属于区间$(x_0-R, x_0+R)$，都有当n趋近于无穷时，余项的绝对值小于M，则函数可以在该区间展开成泰勒级数

麦克劳林展开式

泰勒公式的特例，$x_0=0$
$$
f(x)=f(0)+\frac{f’(0)}{1!}x+\frac{f’'(0)}{2!}x^2+…++\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+…
$$

经典展开

$$
e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+…+\frac{x^n}{n!}+…
$$

$$
\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-…+(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+…
$$

傅里叶级数

使用三角函数来拟合一个已知函数

三角级数

一般来说，形如
$$
\frac{a_0}{2}+\sum^{\infty}_{n=1}(a_n\cos nx+b_n \sin nx)
$$
的级数被称为三角级数

正交性

函数系
$$
{1,\cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x, …,\cos nx, \sin nx,…}
$$
被称为基本三角函数系

正交性：该函数系任意两个不同的函数的乘积，在区间$[-\pi,\pi]$上的积分等于0

三角级数的系数

$$
a_n=\frac{1}{\pi}\int^{\pi}_{-\pi}f(x)\cos nx \ \mathrm{d}x
$$

$$
b_n=\frac{1}{\pi}\int^{\pi}_{-\pi}f(x)\sin nx \ \mathrm{d}x
$$

这两个式子被称为欧拉-傅里叶公式，由这个公式确定的系数被称为傅里叶系数

对任意在区间$[-\pi,\pi]$上可积函数$f(x)$都可以求出其傅里叶级数，但这个级数不一定收敛，即使收敛也不一定收敛于$f(x)$

于是我们需要知道什么时候$f(x)$可以被展开成收敛在$f(x)$的傅里叶级数

收敛定理（狄里希利充分条件）

对于一个周期为$2\pi$的周期函数，如果它满足狄里希利条件：

• 在一个周期内连续，或者只有有限个第一类间断点

  • 第一类间断点：左右极限都存在，但该点函数值或该点无定义

• 在一个周期内之多有有限个严格极值点

则$f(x)$的傅里叶级数收敛，且

• 当$x$是$f(x)$的连续点时，级数收敛于$f(x)$
• 当$x$是$f(x)$的间断点时，级数收敛于$\frac{1}{2}[f(x-0)+f(x+0)]$

其他概念

• 周期延拓
• 正弦级数（奇函数）
• 余弦级数（偶函数）
• 奇延拓
• 偶延拓

复数表示

欧拉公式
$$
\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}
$$

$$
\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}
$$

记
$$
\frac{a_0}{2}=c_0
$$

$$
\frac{a_n-ib_n}{2}=c_n
$$

$$
\frac{a_n+ib_n}{2}=c_{-n}
$$

则傅里叶级数简化为
$$
\sum^{\infty}_{n=-\infty}c_ne^{i\frac{n\pi x}{l}}
$$

$$
c_n=\frac{1}{2l}\int^l_{-l}f(x)e^{-i\frac{n\pi x}{l}}\mathrm{d}x
$$

多元函数

方向导数

设点$P_0(x_0,y_0)\in \mathbf{R}^2$，$l$是平面上的一非零向量，其单位向量为$e_i=\cos \alpha \mathbf {i}+\cos \beta \mathbf {j}$，函数$z=f(x,y)$在点$P_0$的某邻域内有定义，$P_0$为直线L上的一个定点（直线L平行于向量$l$），若极限
$$
\lim_{t\rightarrow 0}\frac{f(x_0+t\cos \alpha,y_0+t\cos \beta)-f(x_0,y_0)}{t}
$$
存在，则称此极限为函数$z=f(x,y)$在直线L上点$P_0$处，延方向$l$的方向导数

梯度

方向导数刻画了函数在点$P_0$处沿着方向$l$的变化快慢程度，我们希望知道在该点，哪一个方向变化最快，于是引入了梯度

设函数$z=f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$处可偏导，则称向量
$$
f_x(x_0,y_0)\mathbf{i}+f_y(x_0, y_0)\mathbf{j}
$$
为函数$z=f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$处的梯度，记作$\mathbf{grad}f(x_0,y_0)$，或$\nabla f(x_0,y_0)$

• 当方向为$(\frac{\partial z}{\partial x}|_P,\frac{\partial z}{\partial y}|_P)$时，变化速度最快

物理意义

• 梯度方向=法线方向