Nabla算子
$\nabla$：Nabla算子，将数量场变成向量场
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当其作用于函数，如$\nabla F(x)$，意思为求该函数梯度
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当其点乘函数，如$\nabla \cdot F(x)$，意思为求该函数的散度
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当其叉乘（三维）函数，如$\nabla \times F(x)$，意思为求该函数的旋度
函数可视化
对于函数$f(x,y)=x^2+y^2$，我们有两种可视化方法，第一种叫做图像：
$$
{(\vec{x}, f(\vec{x}))|\vec{x} \in D}
$$
第二种叫做等值面:
$$
{\vec{x}|f(\vec{x})=c}
$$
等值面只需要二维空间就能表示三维数据
梯度
Nabla算子其实是一个向量：
$$
\nabla =\left[
\frac{\partial }{\partial x_1}, \frac{\partial }{\partial x_2 },\cdots,\frac{\partial }{\partial x_n }
\right]^{T}
$$
Nabla算子作用于函数（标量场），可以将标量场转化为向量场，我们称该向量场为梯度
$$
\nabla f=
\left[
\begin{array}{c}
\frac{\partial f}{\partial x_1}\\
\frac{\partial f}{\partial x_2}\\
\vdots\\
\frac{\partial f}{\partial x_n}\\
\end{array}
\right]
$$
梯度垂直于等值面，意义为变化最快的方向（图中黄色箭头）
散度
我们知道向量和向量间可以进行点乘，其结果为一个标量，那么Nabla算子和向量相乘，我们称所得到的标量为散度
$$
\vec{f}=\left[
\begin{array}{c}
f_1\\
f_2\\
\vdots\\
f_n\\
\end{array}
\right]
$$
$$
\nabla \cdot \vec{f}=\frac{\partial f_1}{\partial x_1}+\frac{\partial f_2}{\partial x_2}+\cdots +\frac{\partial f_n}{\partial x_n}
$$
上图的白色箭头表示一个向量，我们发现这些箭头都是在朝外扩散，而散度就是用来衡量箭头向外扩散的程度
散度的物理意义是通量的局部描述。我们在图上画一个圈，我们发现会有向量进入这个圈，也有向量离开这个圈，那么进出之合，我们就称之为通量（比如磁通量），我们将通量除以圈的面积，就得到了通量的体密度。若这个圆取无穷小，那么体密度的极限值就是该点的散度
是不是突然很好理解麦克斯韦方程中$\nabla \cdot \mathbf{E}=0$的原因了？
其实这个公式就是高斯公式
旋度
向量不仅可以点乘，其实也可以叉乘，两个三维向量叉乘，能得到一个3x3的行列式。最后得到一个矩阵，我们称为旋度
旋度的物理意义就是环量的面密度。现在有一个在旋转的场，我们在场上画一个圈，场在这个圈内会做功，这个功就是环量，我们求出单位面积上环量，这个极限值描述了漩涡的强度。旋度就是旋转最快的方向
梯度的散度
nabla算子和自己做内积，于是会得到一个数量场，意义为求梯度的散度
这个操作为$\nabla\cdot \nabla$，也可以写作$\nabla^2、\nabla^T \nabla$，但为了避免歧义，我们引入了一个新的符号，拉普拉斯算子
$$
\Delta=\nabla \cdot\nabla
$$
