线性代数

一：线性方程组

概念

线性方程
线性方程组
系数
解：一组能让方程左右相等的数
解集：方程组的所有解的集合
等价：若两个线性方程组拥有相同解集，则两者等价
相容：方程组有一个或无穷多个解
不相容：方程组无解

矩阵

方程组
$$
\begin{gathered}
x_1-2x_2+x_3=0 \\
2x_2-8x_3=8 \\
5x_1-5x_3=10
\end{gathered}
$$
的系数矩阵为
$$
\left[ \begin{matrix}1&-2&1\\ 0&2&-8\\ 5&0&-5\end{matrix} \right]
$$
增广矩阵为
$$
\left[ \begin{matrix}1&-2&1&0\\ 0&2&-8&8\\ 5&0&-5&10\end{matrix} \right]
$$
这个增广矩阵，3行4列，是一个3x4的矩阵

我们对增广矩阵进行多次矩阵运算，于是得到
$$
\left[ \begin{matrix}1&0&0&1\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&-1\end{matrix} \right]
$$
于是原方程有且仅有一个解$(1,0,-1)$

初等行变换

也就是行简化

倍加：a=a+nb，把某行加上某一行的倍数
对换：swap(a,b)，把某两行对换
倍乘：a *= n (n!=0)，把某行所有元素乘以一个非零的数

阶梯矩阵

形如
$$
\left[ \begin{matrix}x&&&\\ 0&x&&\\ 0&0&x&\end{matrix} \right]
$$
的矩阵，被称为阶梯形

$x$为先导元素，非零
- 若先导元素均为1，而且该列只有先导元素非零，则矩阵被称为简化阶梯形
- $x$所在的位置被称为主元位置，拥有主元的列被称为主元列
$*$取任意值

行简化

任何非零矩阵都可以行简化为阶梯形矩阵
简化阶梯形具有唯一性

线性方程的解

对增广矩阵运用行简化，得到一个简化阶梯形
$$
\left[ \begin{matrix}1&0&-5&1\\ 0&1&1&4\\ 0&0&0&0\end{matrix} \right]
$$
对应的线性方程组为
$$
\begin{gathered}
x_1-5x_3=1 \\
x_2+x_3=4 \\
0=0
\end{gathered}
$$

其中$x_1,x_2$为基本变量，$x_3$为自由变量

于是可以得到线性方程组的通解
$$
\begin{cases}
x_1=1+5x_3&\\
x_2=4-x_3&\\
x_3是自由变量
\end{cases}
$$

向量方程

向量

n维向量可以写成nx1列矩阵的形式
$$
\mu=\begin{bmatrix}
1\\ 1\\ \vdots \\ 1
\end{bmatrix}
$$

所有元素为0的向量称为零向量
当且仅当两个向量对应元素全相等时，两向量相等

为了方便书写，我们会将n维向量横着写（注意！用的是括号，并且相邻元素间用逗号隔开）
$$
(1,1,…,1)
$$

向量方程

向量方程：
$$
x_1\mathbf{a_1}+x_2\mathbf{a_2}+…+x_n\mathbf{a_n}=\mathbf{b}
$$
的解，等同于增广矩阵为
$$
\begin{bmatrix}\mathbf{a_1}&\mathbf{a_2}&…&\mathbf{a_n}\end{bmatrix}
$$
的线性方程组的解

$Span{\nu}$
$Span{\nu_1,\nu_2,…,\nu_n }$

矩阵运算

$$
A\mathbf{x}=
\begin{bmatrix}\mathbf{a_1}&\mathbf{a_2}&…&\mathbf{a_n}\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}x_1\\ x_2\\ \vdots \\ x_n\end{bmatrix}
=x_1\mathbf{a_1}+x_2\mathbf{a_2} + …+x_n\mathbf{a_n}
$$

当且仅当左边的列数等于右边的行数，才可以运算（横乘竖）

矩阵方程

$$
A\mathbf{x}=\mathbf{b}
$$

齐次线性方程组

若线性方程的常数项为0，则称该线性方程为齐次的，可以写成
$$
A\mathbf{x}=\mathbf{0}
$$
的形式

齐次线性方程必有一个平凡解，即$\mathbf{x}=\mathbf{0}$
齐次线性方程有非平凡解，当且仅当方程组至少有一个自由变量

要判断$A\mathbf{x}=\mathbf{0}$有无非平凡解

写出方程组的增广矩阵$[A, \mathbf{0}]$
将矩阵化简为简化阶梯形
若存在某一行全为0（该行对应的变量就是自由变量），则有非平凡解
1. 哪些不全为0的行所对应的变量称为基本变量

线性无关

若线性方程仅有平凡解，则该组向量（矩阵各列）线性无关

矩阵

要判断某个矩阵各列是否线性无关：

写出矩阵的增广矩阵$[A, \mathbf{0}]$
对矩阵进行行简化
若矩阵没有自由变量，则说明各列线性无关

向量的集合

一个向量的集合线性无关的条件：当且仅当向量不是零向量
两个向量的集合线性相关的条件：当且仅当某个（非零）向量是另一个（非零）向量的倍数
多个向量的集合线性相关的条件：当且仅当至少有一个向量是其他向量的线性组合
- 若一个向量组中向量个数多于每个向量的元素个数，那么这个向量组线性相关（充分条件）

能看出，两个向量属于多个向量

线性变换

变换

$$
A\mathbf{x}=\mathbf{b}
$$

一个n维向量左乘一个m行n列的矩阵，会得到一个m维的向量

我们称$\mathrm{R}^n \rightarrow \mathrm{R}^m$这个过程为一个变换，也可以叫做函数、映射

变化的规则为$T$，$\mathrm{R}^n$被称为$T$的定义域，$\mathrm{R}^m$被称为$T$的余定义域

对于$\mathrm{R}^n$中的一个向量$x$，其在$\mathrm{R}^m$中的向量$T(x)$被称为$x$的像，所有的像的集合被称为值域

线性变换

若定义域中的一切向量满足

$T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v}) $
$T(c\mathbf{u})=cT(\mathbf{u})$

则称该变换为线性变换

线性变换的性质：

$T(\mathbf{0})=\mathbf{0}$
$T(c\mathbf{u}+d\mathbf{v})=cT(\mathbf{u})+dT(\mathbf{v}) $

若n等于m，$T(\mathbf{x})=r \ \mathbf{x}$

若r > 1，则称为拉伸变换
若0 < r < 1，则称为压缩变化

变化矩阵

二维空间的变化矩阵为，$(x_1, y_1)$为变化后单位正方形右下角的位置，$(x_2, y_2)$为变化后单位正方形左上角的位置
$$
\left[ \begin{matrix}x_1&x_2\\ y_1&y_2\end{matrix} \right]
$$

二：矩阵代数

矩阵

对于一个mxn的矩阵，也就是m行n列的矩阵，我们可以写作
$$
A=[\mathbf{a}_1 \ \mathbf{a}_2\ \cdots \mathbf{a}_n]
$$

其中

矩阵A的对角元素为$a_{11}, a_{22}, \cdots$，他们组成了矩阵A的主对角线

对角矩阵：非对角线元素全为0的矩阵

零矩阵：元素全为0的矩阵，根据其尺寸，可以写为$\mathbf{0}_{m \times n}$

矩阵运算

矩阵相等：维数相同且对应元素均相同

矩阵相加：维数相同的矩阵才能相加，结果为对应元素相加

矩阵标量乘：矩阵所有元素乘一个标量