二：波动光学
内容概述
- 简谐波（simple harmonic waves）
- 傅里叶变换（Fourier Transform）
- 波的物理量
数学基础
常用函数
三角函数
欧拉公式
$$
e^{\mathrm{i}x}=\cos x + \mathrm{i}\sin x
$$
三角函数的复数表示
$$
\sin z=\frac{e^{\mathrm{i}z}-e^{-\mathrm{i}z}}{2\mathrm{i}}
$$
$$
\cos z=\frac{e^{\mathrm{i}z}+e^{-\mathrm{i}z}}{2}
$$
$\delta$函数
德尔塔函数，冲击函数
整体积分为1，除了0点以外，其他点函数值都为0
$$
\delta(x)=0,(x\ne0)
$$
$$
\int^{\infty}_{-\infty}\delta(x)dx=1
$$
高斯函数
概率论里的正态分布
$$
f(x)=ae^{-(x-b)^2/2c^2}
$$
- a>0
洛伦兹函数
概率论里的柯西分布
$$
f(x)=\frac{A}{B^2+x^2}
$$
矩形脉冲函数
$$
f(t)=E[u(t+\frac{\tau}{2})-u(t-\frac{\tau}{2})]
$$
波的数学表示
定态波：空间中各点均为同频率的简谐振荡，各点振幅不随时间改变
震荡（Vibration）：物理量围绕其平衡位置进行周期性变化
简谐震荡（Harmonic vibration）：物理量随着时间以三角函数的形式进行震荡
$$
U(t)=A\cos(\omega t+\varphi_0)
$$
- 振幅（amplitude，用$A$表示）
- 角频率（angular frequency，用$\omega$表示）
$$
\omega=\frac{2\pi}{T}
$$
- 相位（phase，用$\varphi$表示）
- 初相（initial phase，用$\varphi_0$表示）
波（waves）：震荡在空间中的传播
简谐波（simple harmonic waves）：进行简谐震荡的波
单色平面波可以视为简谐波
波阵面（wave surface）：波在介质中传播，经过相同时间所到达的各点所连成的线/面
波前（wave front）：最前面的波阵面
相速度（phase velocity，用$v_p$表示）：波传递的速度
$$
v_p=\frac{\omega}{k}
$$
傅立叶变换
将一个满足条件的函数，转化为三角函数（或他们积分）的线性组合
$$
\hat{f}=<f,E_k>=\int f(x)e^{-2\pi i k\cdot x}\mathrm{d}x
$$
其傅里叶级数为
$$
\sum\hat{f}(k)E_k
$$
