五：反射与折射

内容概述

光在单层各项同性表面的反射与折射
菲涅尔方程
全内反射
相位突变，布鲁斯特角

菲涅尔方程

各项同性介质（Isotropic medium）：折射率处处相同的材质

光密介质：折射率高的介质（这是一个相对概念）

光疏介质：折射率低的介质（这是一个相对概念）

在几何光学中的那些反射方程，只能得到入射光、反射光、折射光间的方向关系

而菲涅尔方程（Fresnel Equations）可以求出反射光、折射光的振幅、相位、偏振

菲涅尔方程的边界条件表明：磁场和电场在边界处连续，也就是入射光的电场磁场=反射光+折射光的电场磁场

我们将入射光的电场分为两个部分，方向满足右手正交系

平行（parallel）于平面的电场$E_p$
垂直（senkrecht）与平面向外的电场$E_s$

经过复杂的推导，我们能得到
$$
r_p=\frac{E_{1p}’}{E_{1p}}=\frac{\tan(\mathrm{i_1}-\mathrm{i_2})}{\tan(\mathrm{i_1}+\mathrm{i_2})} \\
r_s=\frac{E_{1s}’}{E_{1s}}=-\frac{\sin(\mathrm{i_1}-\mathrm{i_2})}{\sin(\mathrm{i_1}+\mathrm{i_2})} \\
t_p=\frac{E_{2p}}{E_{1p}}=\frac{2\cos \mathrm{i_1}\sin \mathrm{i_2}}{\sin(\mathrm{i_1}+\mathrm{i_2}) \cos (\mathrm{i_1}-\mathrm{i_2})} \\
t_s=\frac{E_{2s}}{E_{1s}}=\frac{2\cos \mathrm{i_1}\sin \mathrm{i_2}}{\sin(\mathrm{i_1}+\mathrm{i_2})}
$$

$r$：反射光
$t$：折射光（透射光，Transmission）

于是我们能得出几个结论

反射光、折射光与入射角、折射率有关
$p$与$s$是独立的

菲涅尔方程的含义

外反射

外反射（External reflection）：从折射率低射向折射率高，比如从空气射向玻璃

我们发现，随着入射角的增加

折射一直是正数，并且两个方向没有明显差异
$r_s$一直是负数，而$r_p$先正后负
布鲁斯特角（Brewster’s angle，图中$i_B$），在此处$r_p$发生了一个$180^{\circ}$的相变
当入射角为$90^{\circ}$时，也就是掠射角（grazing angles），我们发现此时完全不发生折射，只发生反射
- 对于一个湿表面，远看发现很亮，近看却发现变暗了
- 远看水面，大部分光来自反射，于是波光粼粼；近看水面，折射部分加强，于是清澈见底
让入射角为$0^{\circ}$，也就是垂直入射时，$r_p$完全反向反射回来，折射很微弱

内反射

内反射（Internal reflection）：从折射率高射向折射率低，比如从玻璃射向空气

$t_p=t_s$，两者没有相位差
当$i=i_c$，此时$r_p=r_s=1$，我们称之为全内反射（Total Internal Reflection，TIR），$i_c$被称为临界角（critical angle）

相位移

相位移（Phase shift）

从低折射率到高折射率，会有一次$\pi$相位移
从高折射率到低折射率，没有相位移

薄膜相位移：光线在薄膜内发生多次反射，可能会附加一段相位移

简化菲涅尔方程

反射比（Reflectance，用$R$表示）：反射光占入射光的能量

折射比（Transmittance，用$T$表示）：透射光（折射光）占入射光的能量

能流（Energy flow）：单位时间内通过单位横截面积的能量

能流 = 辐照度 x 横截面积
$$
R=r^2
$$

$$
T=\frac{n_2\cos i_2}{n_1\cos i_1}t^2
$$

根据能量守恒定律（Energy conservation law）：$R+T=1$

当垂直入射时，带入菲涅尔方程，得到
$$
\begin{cases}
r_p=\frac{n_2-n_1}{n_2+n_1} \\
r_s=-r_p \\
t_p=\frac{2n_1}{n_1+n_2} \\
t_s=t_p
\end{cases}
$$
于是得到
$$
R_p=R_s=\left( \frac{n_2-n_1}{n_2+n_1}\right)^2
$$

$$
T_p=T_s=\frac{4n_1n_2}{(n_1+n_2)^2}
$$

对于空气（$n_1=1$）和玻璃（$n_2=1.5$），$R=0.04，T=0.96$

这也是为什么图形学中取 0.04为F0的基准值

为什么晚上室内玻璃像镜子一样？