法线切线次切线的计算

顶点法线的计算

模型顶点构成了多个三角面，使用三角面的顶点坐标等得到两条边的向量，求两个向量的叉积能够得到（归一化的）面法线。
$$
\mathbf{N}=\frac{(\mathbf{P}_1-\mathbf{P}_0)\times(\mathbf{P}_2-\mathbf{P}_0)}{||(\mathbf{P}_1-\mathbf{P}_0)\times(\mathbf{P}_2-\mathbf{P}_0)||}
$$
点的顺序与法线方向满足右手螺旋定则，点呈顺逆时针时法线垂直直面向外。

顶点法线可以在DCC中手动指定，也可以用面法线做平滑着色。一般来说某个顶点会参与构成多个三角面，选取这些三角面的面法线做算术平均值，这个过程被称为平滑着色。

硬边上的点属于不同的平滑组，在计算法线时不能平均，在导出时会被拆分为互相重叠的点，各自拥有一个法线、纹理坐标。

如果对未经过归一化的面法线求均值，能实现含权重的顶点法线，三角面面积越大，影响越强。

切线空间

为了得到更高精度的法线，我们会使用切线空间的法线贴图，对顶点法线进行扰动。

切线空间由三个基向量组成，分别为切线$X$、次切线$Y$、法线$Z$，这三个基向量不一定正交，但视为正交。

在不进行扰动时，切线空间的法线为$(0,0,1)$，是顶点法线的方向。切线和次切线所形成的平面与物体表面相切，方向与UV有关，但存在偏差。

三个向量可以构成TBN矩阵，该矩阵能将切线空间法线转化为物体空间/世界空间
$$
\begin{bmatrix}T_{x}&B_{x}&N_{x}\\ T_{y}&B_{y}&N_{y}\\ T_{z}&B_{z}&N_{z}\end{bmatrix}
$$

float3 normalValue = normalTexture.sample(textureSampler, uv * params.tiling).xyz * 2.0 - 1.0;
        normal = float3x3(tangentWS, bitangentWS, normalWS) * normalValue;

计算切线和次切线

int triangleCount = indices.Count / 3;
List<float3> sDirList;
List<float3> tDirList;
for(int i = 0; i < triangleCountl; ++i){
  // 三角形的三个顶点
  int vertexID0 = indices[i * 3];
	int vertexID1 = indices[i * 3 + 1];
  int vertexID2 = indices[i * 3 + 1];
  // 顶点UV
  float2 uv0 = uvs[vertexID0];
  float2 uv1 = uvs[vertexID1];
  float2 uv2 = uvs[vertexID2];
  // 顶点坐标
  float3 pos0 = positions[vertexID0];
  float3 pos1 = positions[vertexID1];
  float3 pos2 = positions[vertexID2];
  // UV差值
  float2 s = float2(uv1.x - uv0.x, uv2.x - uv0.x);
  float2 t = float2(uv1.y - uv0.y, uv2.y - uv0.y);
  // 坐标差值
  float3 deltaPos0 = pos1 - pos0;
  float3 deltaPos1 = pos2 - pos0;
  float r = 1.0f / (s.x * t.y - s.y * t.x);
  float3 sDir = float3(
    r* (t.y * deltaPos0.x - t.x * deltaPos1.x),
    r* (t.y * deltaPos0.y - t.x * deltaPos1.y),
    r* (t.y * deltaPos0.z - t.x * deltaPos1.z)
  );
  float3 tDir = float3(
  	r* (-s.y * deltaPos0.x + s.x * deltaPos1.x),
    r* (-s.y * deltaPos0.y + s.x * deltaPos1.y),
    r* (-s.y * deltaPos0.z + s.x * deltaPos1.z)
  );
  tDirList[vertexID0] += tDir;
  tDirList[vertexID1] += tDir;
  tDirList[vertexID2] += tDir;
  sDirList[vertexID0] += sDir;
  sDirList[vertexID1] += sDir;
  sDirList[vertexID2] += sDir;
}
for(int i = 0; i < vertexCount; ++i){
  float3 normal = normals[vertexID0];
  float3 tDir = tDirList[i];
  // 切线
  float3 tangent = tDir - dot(normal, tDir);
  // 次切线
  float3 bitangent = cross(normal, tangent);
}

参考

切线空间（Tangent Space）完全解析

《3D游戏与计算机图形学中的数学方法》